수열
규칙성이 있는 숫자들의 나열로 일정한 규칙에 따라 한 줄로 배열된 수의 열을 뜻한다.
첫 번째 수열(a1)부터 n 번째 수열까지 있을 때 아래와 같이 나타낼 수 있다.
등차수열
연속된 두 항의 차가 모두 같을 때 이를 등차수열이라 하고 그 둘의 차이를 공차(공통된 차이)라 한다.
공차는 d로 표시한다 (common difference)
3의 배수로 만든 수열 {3, 6, 9, 12, 15,...}에서 연속된 두 항의 차는 3으로 모두 같으니 이 수열은 공차가 3인 등차 수열이다.
첫 번째 항 3이고 두 번째 항은 6이다. 뒤로 한 칸씩 갈 때마다 공차를 더한 형태다. 따라서 위 수열의 n 번째 항은 3 + (n - 1)d이다.
일반화하면, 첫 번째 항이 a일 때 n 번째 항을 구하는 식은 아래와 같다.
첫 번째 항 a부터 n 번째 항까지의 합은 아래 식의 합과 같다.
a
a + d
a + 2d
a + 3d
......
a + (n - 1)d
= an + (d + 2d + ... + (n - 1)d)
= an + [{d + (n - 1)d} * {n - 1}] / 2 d에 대해 가우스 덧셈
= an + [{d + dn - d} * {n - 1}] / 2
= an + [dn * {n - 1}] / 2
= 2an / 2 + dn(n - 1) / 2
= {2an + dn(n - 1)} / 2
= {n(2a + d(n - 1)} / 2 혹은
= {n(a + a의 n 번째 수)} / 2 a + d(n-1) 은 a의 n 번째 수를 구하는 식이므로
등비수열
연속된 두 항의 비가 모두 같을 때 이를 등비수열이라 하고 그 둘의 차이를 공비(공통된 비율)라 한다.
공비는 r로 표현한다. (common ratio)
한 시간이 지날 때마다 2배로 증가하는 세포가 있다면 그 세포의 수를 수열로 나타낼 수 있다. {1, 2, 4, 8, 16, 32, ....} 다음 수열에서 인접한 두 항 중 앞의 항으로 뒤의 항을 나눈 비율이 모두 2로 같다. 따라서 위 수열 공비가 2인 등비수열이다.
첫 번째 항은 1이고 두 번째 항은 2이다. 뒤로 한 칸씩 갈 때마다 공비를 곱한 형태다. 따라서 위 수열의 n 번째 항은 1*r^(n-1)이다.
일반화하면 첫 번째 항이 a일 때 n번째 항을 구하는 식은 아래와 같다.
첫 번째 항 a부터 n 번째 항까지의 합을 s라고 하면
s = a + ar + ar^2 + ... + ar^n-1
sr = ar + ar + ar^2 + ... + ar^n 양변에 r을 곱함
s - sr = a - ar^n
s(1 - r) = a(1 - r^n)
s = a(1 - r^n) / (1 - r)
계차수열
인접하는 두 항의 차로 이루어진 수열이다. 수열에서 항과 그 바로 앞의 항의 차를 계차라고 하며, 이 계차들로 이루어진 수열을 그 수열의 계차수열이라고 한다.
즉 수열 an에서 다음을 만족하는 수열 bn이 있을 때 수열 bn은 수열 an의 계차수열이 된다.
그림으로 표현하면 다음과 같다.
계차수열을 이용하여 수열의 일반항 구하기
수열 {1, 3, 7, 13, 21, 31, ...}의 일반항을 바로 구하기는 쉽지 않다. 반면 이 수열의 계차수열을 구해 보면 {2, 4, 6, 8, 10, ...}이고 이는 등차수열로서 일반항과 합을 구하는 공식이 있다. 따라서 이 계차수열을 이용하여 {1, 3, 7, 13, 21, 31, ...}의 일반항을 구해보자.
위 그림 세 개를 잘 보면 an은 a1 + (bn의 n-1번째 항까지의 합)이다.
위 수열의 경우 a1 = 1이고 bn의 n-1 번째까지의 합은 bn이 등차수열이므로 등차수열의 합 공식을 사용하여 계산하면 된다.
bn의 첫 번째 항 = 2, 공차 = 2 이므로 일반항은 2k이다.
bn의 첫 번째 항부터 n-1 번째 항까지의 합을 구하는 것이므로
시그마 k=1부터 n-1까지 2k이고 이것은 (n - 1)n이다.
따라서 수열 an의 일반항은
1 + (n - 1)n
= 1 + n^2 - n
= n^2 - n + 1이다.
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수악중독
수악중독과 함께하는 고등학교 수학 개념 공부
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등차수열
3단의 구구단으로 만든 수열 \{3, \ 6, \ 9, \ 12, \ 15, \ \dotsc \}에서 연속한 두 항의 차는 3으로 모두 같으며, 첫째 원소인 3부터 시작하여 일정한 값 3을 계속적으로 더하여 얻어진다. 이 수열에서 15
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등비수열
난자와 정자가 수정하여 만들어진 수정란은 수정 후 30시간이 지나면 하나의 세포가 두 개로 나누어지는 분열인 난할을 시작한다. 이후 며칠간은 계속적으로 난할이 진행되어 2세포기, 4세포기,
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계차수열
어떤 수열의 계차수열이란 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 수열이다. 수열에서 항과 그 바로 앞의 항의 차를 계차(difference, 階差)라고 하며, 이 계차들로 이루어진 수열을 그 수열의
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